Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Tên chuyên đề : Định lý thalès & các bài toán
về đoạn thẳng tỷ lệ

A/ Cơ sở lý thuyết – các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết :

Phần 1
các khái niệm cơ bản liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ
. Tỷ số của hai đoạn thẳng
Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo
Như thường lệ , nếu không gây ra sự nhầm lẫn , ta dùng cùng một ký hiệu AB để chỉ đoạn thẳng AB và độ dài của đoạn thẳng đó .
Ký hiệu tỷ số của hai đoạn thẳng AB và CD là . Trong ký hiệu này , AB và CD chỉ có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng AB và CD .
Chú ý : Tỷ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo .
. Tỷ lệ thức
Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số .
Nếu AB , CD , EF , GH là bốn đoạn thẳng mà thì đẳng thức đó là một tỷ lệ thức của các đoạn thẳng .
1.3 Các tính chất của tỷ lệ thức
Nếu thì
AB . GH = CD . EF



( Nếu CD khác GH )
.Trung bình nhân
Đoạn thẳng AB được gọi là trung bình nhân của hai đoạn thẳng CD & EF nếu

VD . Nếu hình vuông ABCD và hình chữ nhật E FGH có diện tích bằng nhau thì đoạn thẳng AB là trung bình nhân của hai đoạn thẳng E F & FG
.Trung bình điều hoà
Đoạn thẳng AB được gọi là trung bình điều hoà của hai đoạn thẳng CD và E F nếu


VD : Cạnh nhỏ nhất của tam giác Ai Cập là trung bình điều hoà của cạnh góc vuông còn lại và chiều cao thuộc cạnh huyền .
Tam giác Ai Cập là tam giác vuông có độ dài ba cạnh là 3 , 4 , 5 . Nếu đặt AB = 3
AC = 4 thì BC = 5 và chiều cao thuộc cạnh huyền là AH = . Do đó
(Đpcm)
1.5 . Đoạn thẳng tỷ lệ :
Hai đoạn thẳng AB & CD được gọi là tỷ lệ với hai đoạn thẳng A/B/ và C/D/ nếu có tỷ lệ thức : .
Chú ý : Hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thẳng A/B/ & C/D/ khi và chỉ khi AB.C/ D/ = A/B/ .CD .
Do đó , nếu hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thẳng A/B/ và C/D/ thì ta cũng có các cặp đoạn thẳng sau đây cũng tỷ lệ với nhau :
CD & AB tỷ lệ với C/D/ & A/B/
AB & A/B/ tỷ lệ với CD & C/D/
C/D/ & CD tỷ lệ với A/B/ & AB
A/B/ & C/D/ tỷ lệ với AB & CD
C/D/ & A/B/ tỷ lệ với CD & AB
VD : Nếu AD , BE là hai trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì
Vì nên hai đoạn thẳng AG & AD tỷ lệ với hai đoạn thẳng BG & BE
Hai đoạn thẳng AG & BG cũng tỷ lệ với hai đoạn thẳng AD và BE .
. Điểm chia đ